(초)끈이론에서 끈의 길이, 장력, 플랑크 에너지의 관계

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초끈이론에서 끈의 길이, 장력, 플랑크 에너지의 관계

📌 1. 끈의 길이 ℓs

끈이론에서 끈의 고유한 길이 척도는 다음과 같이 정의됩니다:

ℓs=sqrt{α′}

여기서 α′는 *Regge slope(이전 가벼운 입자 스펙트럼 기울기)*라고도 불리며, 단위는 *[길이²]*입니다. 이는 끈의 고유한 장(scale)으로, 보통 Planck 길이보다 약간 더 크다고 여겨집니다.

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📌 2. 끈의 장력 T_s

끈의 장력은 단위 길이당 에너지이며, 다음과 같이 주어집니다: T_s=1/(2πα′)=1/(2πℓ_s²)

• 단위: [에너지 / 길이] = [힘]
• 이는 끈을 늘리는 데 필요한 힘의 크기를 의미합니다.
• 장력이 크다는 것은 끈을 늘리기 어렵다는 뜻입니다.

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📌 3. 끈의 에너지와 질량

끈의 에너지는 그 진동 모드의 양자수와 장력에 따라 정해집니다. 기본적으로 진동수 n에 대해 다음과 같은 질량 제곱 공식이 존재합니다: Mn²∼nα′=n T_s

• 즉, n이 증가할수록 더 무거운 입자가 만들어지고,
• 끈의 장력이 크면 주어진 모드에서 더 무거운 입자가 됩니다.

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📌 4. 플랑크 에너지와의 관계

플랑크 에너지는 중력과 양자역학이 결합되는 스케일로, 다음과 같이 정의됩니다:

E_Pl=sqrt{ℏc⁵/G}≈1.22×10¹⁹ GeV

끈이론에서는 끈의 길이와 중력 상수 G의 관계를 다음과 같이 연결합니다:

G∼ g_s²ℓ_s²

여기서:

• g_s는 끈 결합 상수입니다 (작을수록 끈이 약하게 상호작용함)
• ℓ_s 는 끈의 길이 척도
• 이를 통해 ‘플랑크 길이 ℓ_Pl‘와 끈 길이 ℓ_s는 다음과 같이 연관됩니다:

ℓ_Pl∼g_sℓ_s ⇒ E_Pl∼1/g_sℓ_s

즉, g_s≪1 이라면 끈 길이는 플랑크 길이보다 크고, 끈이론은 플랑크 에너지보다 낮은 에너지에서 물리학을 설명할 수 있습니다.

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요약 정리

개념	정의 및 관계식	해설
끈의 길이 ℓs	ℓs=sqrt{α′}	끈이 진동하는 고유 스케일
끈의 장력 Ts	Ts=1/(2πα′)=1/(2πℓs2)	길이 당 에너지 또는 힘
끈의 에너지/질량	Mn2∼n/α′	진동 모드 수에 따라 달라짐
플랑크 에너지와 관계	ℓPl∼gsℓs EPl∼1/gsℓs	끈 결합 세기와 스케일 변환

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