빛을 설명하는 U(1) 게이지 이론

전자기학의 U(1) 게이지 이론은 고전 전자기학(Maxwell 방정식)을 양자역학의 언어로 다시 기술하는 방법이며,
게이지 대칭을 기반으로 전자기 상호작용이 어떻게 발생하는지를 설명합니다.

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🧭 1. 기본 아이디어: 파동함수의 위상 변화

양자역학에서 입자의 상태는 복소수 파동함수 ψ(x)로 표현됩니다.

• 파동함수의 전체 위상은 물리적으로 의미가 없고, 다음처럼 위상을 바꿔도 결과는 동일합니다:
• ψ(x)→e^iθψ(x)
• 그런데 **위상 θ**이 공간에 따라 달라지는 함수 θ(x) 라면, 다음처럼 국소 위상 변환을 합니다: ψ(x)→e^iθ(x)ψ(x)
• 이때 문제: “도함수(=운동량 연산자)”가 변환을 따라가지 못합니다.

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⚠️ 2. 도함수의 문제: 국소 위상 변환에서의 불변성 깨짐

파동함수의 도함수:

∂_μψ(x)→∂_μ(e^iθ(x)ψ(x))=e^iθ(x)(∂μ+i ∂_μθ(x))ψ(x)

즉, 도함수는 변환 전의 형태와 달라집니다 → 위상 대칭이 깨짐.

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🛠 3. 해결책: 공변 도함수(Derivative) 도입

이 위상 변화에 대칭성을 지키기 위해, 새로운 벡터 장 A_μ(x)를 도입합니다.

• 새로운 도함수 정의: D_μ=∂_μ+ieA_μ(x)
• 이 도함수를 사용하면 다음과 같이 변환할 수 있습니다: ψ(x)→e^iθ(x)ψ(x), Aμ(x)→Aμ(x)−1/e∂_μθ(x)

이제 *공변 도함수 D_μψ*는 다음과 같이 동일한 형태를 유지: D_μψ(x)→e^iθ(x)D_μψ(x)

✅ 드디어 **국소 위상 대칭(local U(1) symmetry)**을 지키는 이론 완성!

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⚡ 4. 전자기장 등장: A_μ는 바로 광자

• 이 A_μ(x)는 전자기 퍼텐셜로 해석됩니다.
• 전기장과 자기장은 A_μ에서 유도된 장세기 텐서 F_μν로 표현됩니다: F_μν=∂_μA_ν−∂_νA_μ
• 이로부터 맥스웰 방정식이 나옵니다!
• 그리고 이 A_μ는 양자화하면 “광자(Photon)”라는 입자가 됩니다.

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🎯 5. 요약: U(1) 게이지 이론의 핵심

요소	설명
대칭군	U(1): 복소수 위상의 회전
물리 의미	국소 위상 변화에 대한 대칭성
게이지 장	Aμ(x) 전자기 퍼텐셜
힘의 매개체	광자 (Photon)
장세기	Fμν=∂μAν−∂νAμ
입자-장 상호작용	eψˉγμAμψ (전자-광자 상호작용)

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