전자기학의 U(1) 게이지 이론은 고전 전자기학(Maxwell 방정식)을 양자역학의 언어로 다시 기술하는 방법이며,
게이지 대칭을 기반으로 전자기 상호작용이 어떻게 발생하는지를 설명합니다.
🧭 1. 기본 아이디어: 파동함수의 위상 변화
양자역학에서 입자의 상태는 복소수 파동함수 ψ(x)로 표현됩니다.
- 파동함수의 전체 위상은 물리적으로 의미가 없고, 다음처럼 위상을 바꿔도 결과는 동일합니다:
- ψ(x)→eiθψ(x)
- 그런데 **위상 θ**이 공간에 따라 달라지는 함수 θ(x) 라면, 다음처럼 국소 위상 변환을 합니다: ψ(x)→eiθ(x)ψ(x)
- 이때 문제: “도함수(=운동량 연산자)”가 변환을 따라가지 못합니다.
⚠️ 2. 도함수의 문제: 국소 위상 변환에서의 불변성 깨짐
파동함수의 도함수:
∂μψ(x)→∂μ(eiθ(x)ψ(x))=eiθ(x)(∂μ+i ∂μθ(x))ψ(x)
즉, 도함수는 변환 전의 형태와 달라집니다 → 위상 대칭이 깨짐.
🛠 3. 해결책: 공변 도함수(Derivative) 도입
이 위상 변화에 대칭성을 지키기 위해, 새로운 벡터 장 Aμ(x)를 도입합니다.
- 새로운 도함수 정의: Dμ=∂μ+ieAμ(x)
- 이 도함수를 사용하면 다음과 같이 변환할 수 있습니다: ψ(x)→eiθ(x)ψ(x), Aμ(x)→Aμ(x)−1/e∂μθ(x)
이제 *공변 도함수 Dμψ*는 다음과 같이 동일한 형태를 유지: Dμψ(x)→eiθ(x)Dμψ(x)
✅ 드디어 **국소 위상 대칭(local U(1) symmetry)**을 지키는 이론 완성!
⚡ 4. 전자기장 등장: Aμ는 바로 광자
- 이 Aμ(x)는 전자기 퍼텐셜로 해석됩니다.
- 전기장과 자기장은 Aμ에서 유도된 장세기 텐서 Fμν로 표현됩니다: Fμν=∂μAν−∂νAμ
- 이로부터 맥스웰 방정식이 나옵니다!
- 그리고 이 Aμ는 양자화하면 “광자(Photon)”라는 입자가 됩니다.
🎯 5. 요약: U(1) 게이지 이론의 핵심
| 요소 | 설명 |
|---|---|
| 대칭군 | U(1): 복소수 위상의 회전 |
| 물리 의미 | 국소 위상 변화에 대한 대칭성 |
| 게이지 장 | Aμ(x) 전자기 퍼텐셜 |
| 힘의 매개체 | 광자 (Photon) |
| 장세기 | Fμν=∂μAν−∂νAμ |
| 입자-장 상호작용 | eψˉγμAμψ (전자-광자 상호작용) |