로렌츠 힘의 장텐서 표현

⚡ 왜 로렌츠 힘은 f^μ=qF^μνu_ν​ 형태로 나타날까?

— 전자기력과 상대론이 만나는 순간

우리가 고등학교에서 배우는 전자기력은 매우 단순합니다.
전하 q가 전기장 E과 자기장 B 속을 움직일 때 받는 힘은 이렇게 쓰죠: F=q(E+v×B)

하지만 물리학은 이보다 훨씬 깊고 아름답습니다.
특히 상대론을 포함하면 이 단순한 힘이 4-벡터 형태의 우아한 방정식 하나로 정리됩니다: f^μ=qF^μνu_ν

이 식이 왜 중요한가?
이 식 하나가 전기력, 자기력, 시간 지연, 질량-에너지 일관성, 상대론적 운동 방정식을
모두 한꺼번에 담고 있기 때문입니다.

오늘은 이 식이 어떻게 유도되는지
그리고 왜 이렇게 생겨먹어야만 하는지
처음부터 끝까지 납득 가능하게 설명해보겠습니다.

---

🧭 1. 먼저 등장인물 소개

유도를 위해 필요한 기본 개념은 다음 네 가지입니다.

1) 4-속도

u^μ=dx^μ/dτ

시간·공간의 속도를 하나로 묶은 개념입니다.

2) 전자기 퍼텐셜 4-벡터

A^μ=(ϕ/c,A)

3) 전자기장 텐서

F_μν=∂_μA_ν−∂_νA_μ

이 하나의 텐서 안에
전기장 E과 자기장 B가 모두 들어 있습니다.

4) 입자의 작용 S

고전역학에서 운동방정식은 라그랑지안에서 나오듯,
상대론에서도 입자의 “세계선”에 대한 작용에서 모든 것이 시작됩니다.

---

🧨 2. 전하를 가진 입자의 상대론적 작용

전하 q, 질량 m인 입자의 작용은 다음과 같이 씁니다: S=−mc∫ds+q∫A_μdx^μ

두 항의 의미는?

• 첫 번째 항: 질량이 있는 입자는 고유시간에 비례한 작용을 가집니다.
• 두 번째 항: 전하가 퍼텐셜 A_μ​와 결합합니다.
  (전자기장은 보조적인 것이 아니라, “길을 따라 쌓여가는 상호작용”으로 등장합니다.)

이제 이 작용을 세계선 x^μ(τ)에 대해 변분하면
입자의 운동방정식이 나옵니다.

---

🧮 3. 오일러–라그랑주 방정식 적용

라그랑지안은 L=−mc²+qA_μu^μ.

변분을 위한 오일러–라그랑주 방정식은

d/dτ(∂L/∂u^μ)−∂L/∂x^μ=0.

두 항을 계산해봅시다.

첫 번째 항:

∂L/∂u^μ=mu_μ+qA_μ.

따라서 시간 미분: d/dτ(mu_μ+qA_μ)=mdu_μ/dτ+q(∂_νA_μ)u^ν.

두 번째 항:

∂L/∂x^μ=q(∂_μA_ν)u^ν.

이 두 개를 빼면 운동방정식:

mdu_μ/dτ=q(∂_μA_ν−∂_νA_μ)u^ν.

오른쪽 괄호 안이 바로 “전자기장 텐서 F_μν“입니다:

F_μν=∂_μA_ν−∂_νA_μ.

따라서 mdu_μ/dτ=qF_μνu^ν.

이제 지수를 올리면 mdu^μ/dτ=qF^μνu_ν.

왼쪽 항은 상대론적 운동량의 변화(time derivative)
오른쪽은 장강도 × 속도 × 전하

---

⚡ 4. 이것이 바로 4-벡터 로렌츠 힘이다

우리는 이 식의 오른쪽을 “힘”이라고 부릅니다. f^μ≡qF^μνu_ν

즉,

전자기력은 4-벡터 형태에서
‘전하 × 장강도 텐서 × 4-속도’로 표현된다.

이 한 줄식이
전기력과 자기력을 한꺼번에 통합하는
상대론적 전자기학의 핵심입니다.

---

💡 5. 우리가 아는 3차원 로렌츠 힘과의 연결

이 식의 공간 성분(μ=i)을 풀어 쓰면 fⁱ=γ q(Eⁱ+ϵ^ijkv_jB_k)

그리고 시간 성분(μ=0)은 f⁰=γ q E⋅v/c.

따라서 3차원 힘은 바로 익숙한 형태입니다: F=q(E+v×B).

즉,

우리가 아는 전자기력은
상대론적 4-벡터 힘의 공간 부분일 뿐입니다.

---

✨ 6. 한 문장 요약

로렌츠 힘 f^μ=qF^μνu_ν ​는
전자기 퍼텐셜과 세계선 작용을 변분하면 자연스럽게 등장하는
가장 근본적이고 상대론적으로 일관된 힘의 표현이다.